Kam směřovat diskusi o středoškolské matematice?

Matematika, potažmo otázka povinné maturity z matematiky je stále otázkou, která – jak se dnes často s oblibou říká – rozděluje společnost.

Na jedné straně typicky stojí názor, že matematika je nepostradatelnou součástí středoškolské výuky. Je předmětem, který tříbí logické myšlení a jehož poznatky se uplatňují ve značné části různých oborů, a rovněž je jakousi „strážkyní kvality“ středoškolského vzdělání v duchu „maturita – stejně jako matematika – není pro každého“.

Protipól těmto názorům tvoří druhá skupina: názory korunované otázkami „K čemu je překladateli/překladatelce znalost řešení logaritmických rovnic?“ nebo „Jak využije manažer/manažerka PR aktivit analytickou geometrii“ atp., dále panují v této skupině upřímné obavy o to, aby maturita z matematiky nezavřela dveře k VŠ studiu nadějné/mu hudební vědkyni/vědci aj. „Diskusi“ dokreslují příklady populárních – a z různých pohledů úspěšných – osobností, které tvrdí, že matematiku „kromě trojčlenky a procent v životě nepotřebovali“ nebo kteří dokonce neznalost matematiky vystavují na odiv.

Nad tím dlí část průmyslové lobby, která by možná ráda využila strachu z matematiky k „nahnání“ určitých skupin žáků do učebních oborů, a rovněž konzervativní část veřejnosti, která interpretuje jak obsah, tak výsledky maturit z matematiky jako úpadek znalostí středoškoláků v porovnání s předchozími dekádami a následně lamentuje nad leností dnešní mladé generace a její neochotou se učit.

Zastánci/zastánkyně názorů z druhé skupiny by se jistě poněkud čertili, kdybychom jim do úst vložili větu „V mé profesi jsem nikdy nevyužil/a logické myšlení“, zastánci/zastánkyně názorů první skupiny by zase pěkně zapotili, když bychom po nich žádali obhajobu toho, proč současná podoba středoškolské matematiky je optimální pro rozvoj logického myšlení, kterým se tak často ohánějí (tj. že jinými způsoby stejného nebo lepšího efektu nelze dosáhnout). Zároveň je patrné u obou táborů podporovat svá tvrzení fakty vytrženými z kontextu (např. odpověďmi na otázku „Kdy jste naposledy využil/a znalosti o funkci kotangens?“), případně únik do natolik nekonkrétních a nicneříkajících odpovědí typu „na látce XY se demonstruje způsob výstavby celé matematiky“ atp.

Je zjevné, že kultivaci samotné diskuse a vyjasňování stanovisek se věnuje pramálo pozornosti. Není divu, že diskuse podle toho také vypadá. Je na čase začít vymezovat „diskusní pole“.

Je vskutku banálním konstatováním, že student se danou látku naučí lépe, má-li pocit, že jde o věc pro něho/ni smysluplnou (třebaže ne nutně bezprostředně prakticky využitelnou!). V praxi se však často setkáváme s tím, že se studenti prokousávají danou látkou s intenzivním pocitem, že ji nikdy v budoucnu nepoužijí – jakkoliv to nemusí být nutně pravda, neb cesty osudu jsou nevyzpytatelné, nicméně samotná existence tohoto pocitu má přímý vliv na efektivitu učení. Jistěže i takováto látka může člověka určitým způsobem rozvíjet a obohacovat a má svou hodnotu sama o sobě. Problém ale tví v tom, že čas, který chceme věnovat těmto tématům, pak nelze věnovat tématům jiným (ekonomové tomu říkají náklady obětované příležitosti).

Je sice hezké, že „do budoucího lékaře rveme komplexní čísla a obecnou rovnici hyperboly“, nicméně osobně bych spíše uvítal, kdyby již ze střední školy věděl, co to znamená specificita testu, aj., aby byl schopen uvažovat třeba tak, jak popsáno v půvabném článku Velká drogová kocovina (https://finmag.penize.cz/kaleidoskop/407932-velka-drogova-kocovina?) (všimněte si, obsah článku je plně přístupný komukoliv, kdo je schopen zvládnout středoškolské kapitoly z pravděpodobnosti a statistiky. O tom, kolik lidí absolventů středních škol je schopno provádět úvahy podobného typu, ví své Masarykova univerzita, díky testům studijních předpokladů, viz úlohy jako úloha č. 66, varianta 01, ročník 2014, k dispozici na: https://www.muni.cz/uchazeci/bakalarske-a-magisterske-studium/minule-verze-testu-studijnich-predpokladu).

Abych se držel svých zásad a nepoužíval při argumentaci účelově vybrané fragmenty reality bez kontextu („komplexní čísla, rovnice hyperboly“), slušelo by se přepsat odstavec výše do podoby: pro budoucího lékaře nejsou tak přínosné některé části vykládané látky (větší části analytické geometrie) a kapitola komplexních čísel, ale byly by dle mého soudu přínosné vybrané kapitoly ze základních principů statistického uvažování nad rámec současného stavu. Jistě si dokážeme přestavit rozdíl v postoji k dané látce.

Budoucí lékař by též mohl znát základy teorie grafů, neboť některé epidemiologické modely jsou na jejích základních pojmech založeny atp. Podobně se může teorie grafů hodit sociologům a zájemcům o marketing (modelování „významnosti“ vrcholů v grafu – sociální síti může být založeno na pojmech různých grafových centralit), lingvisté by o teorii grafů také něco měli vědět (stromy), stejně jako o základech teorie formálních jazyků a gramatik. A podobně bych mohl pokračovat ještě dosti dlouho.

Všechny příklady by měly (a mají) jedno společné: jde o látku, která je „rozumně vyložitelná“ běžným středoškolákům, avšak se prakticky nikde na středních školách nevykládá (a pokud ano, pak nejspíše v nějakých výběrových seminářích).

V současné době se stále častěji začínají ozývat hlasy, že výuku matematiky je potřeba zaměřit praktičtěji, na oblasti, které se v běžném životě dají využít (v novinovém článku se pak „pěkně“ vyjímá ekonom, který v tomto kontextu zmíní „složené úrokování“ apod.). Často ovšem jde o krok směrem k jakémusi „vykostění“ současné středoškolské matematiky, jejíž hranice jsou „tak nějak dány“ – jinými slovy, „matematické hřiště je prostě nějak vykolíkované“. Čili jde v podstatě o zredukování současného obsahu. Do určité míry pak ovšem chápu rozhořčení konzervativnější části pedagogů vůči těmto názorům. Dle mého soudu ovšem jádro problému, resp. otázky „jak koncipovat středoškolskou matematiku“ (a následně maturitní zkoušky), spočívá v něčem úplně jiném.

Co je matematika a k čemu se užívá?

Tento typ otázky asi známe všichni z příbalových letáků k nejrůznějším léčivům. Odpověď na ní je samozřejmě „silně netriviální“, nicméně může nám posloužit jako inspirace pro další úvahy. Nemalá část problému se středoškolskou matematikou (a diskusí kolem) spočívá v ujasnění si odpovědí na následující tři otázky:

• Kdo matematiku v současné době užívá?
• K čemu se matematika dnes užívá?
• V jakých oblastech se matematika rozvíjela a rozvíjí v posledních třiceti, čtyřiceti letech?

Předně, matematika v současné době je nesmírně rozsáhlou oblastí lidského bádání, která zahrnuje obrovské množství nejrůznějších – a v některých případech i značně navzájem vzdálených – disciplín. Témata, která je možné vyučovat na středních školách, tvoří samozřejmě (a nepřekvapivě malou) část vybraných disciplín. Některé disciplíny ze zjevných důvodů vykládat na SŠ nelze (třeba takovou teorii míry a integrálu nebo funkcionální analýzu), jiné část témat z jiných disciplíny vykládat lze, avšak praxi se tak neděje (např. vybrané kapitoly z teorie grafů). Naprostá většina úvah o tom, jak má vypadat obsah výuky matematiky na střední škole atp. nicméně existenci témat, která by bylo možné vyučovat, ale aktuálně se nevyučují, vůbec nereflektuje!

Matematika se za posledních cca 40 let značně proměnila (co se priority zkoumaných témat týče), společnost rovněž. Jak se ale proměnil obsah středoškolské matematiky?

Domnívám se, že současná podoba (obsah) středoškolské matematiky vcelku dobře poslouží těm, kteří budou v následujících letech používat matematiku pro řešení (zejména) fyzikálních problémů z inženýrské praxe a části lidí, kteří se vydají směrem k ekonomickým disciplínám. To celkem dobře korespondovalo se situací ve společnosti řekněme před 40 lety. (Někteří si možná vzpomenou na „promovaní inženýři – sinus, kosinus, deskriptiva…“)

Otázkou samozřejmě je, jak je tomu nyní a jaká je situace z pohledu „neinženýrsky“ orientované části populace. Je ohromná škoda, že zájemci o jiné (míním: neinženýrské) obory získávají mnohdy (a dlužno podotknout, že nikoliv neprávem) pocit, že matematika pro ně užitečným nástrojem prostě není, že ji mají tedy brát zejména jako prostředek k rozvoji „logického myšlení“, respektovat ji, avšak s tím, že matematika prostě „slouží jiným“. Tím, mimochodem, zaniká jedna z klíčových charakteristik matematiky jakožto disciplíny věnující se zkoumání obecných struktur.

Je dobré si uvědomit, „cílová skupina“ matematiky je v současné době výrazně větší, než byla před desetiletími. Biologové či lékaři bez solidního matematického zázemí jsou značně handicapovaní při čtení značné části vědeckých článků ze svého oboru. Z jiného soudku: absolventi sociologie, které znám, se typicky v praxi věnují analýze dat (a mnozí z nich se začínají zajímat i o takové oblasti jako je strojové učení). Čili „nejen inženýr“ je uživatelem matematiky! Kolik a čeho jim ovšem současná výuka matematiky poskytuje?!

Přístup „neinženýrsky“ zaměřených studentů k matematice pak, mimochodem, komplikuje výuku matematických předmětů v dalších stupních studia (čili na VŠ) – třebaže se v těchto případech  jedná už o ty matematické disciplíny, které jsou typicky relevantní pro studovaný obor. Leckdo ze studentů k nim ale už přistupuje s apriorní averzí, kterou si přináší ze střední školy. Tato atmosféra samozřejmě vede k celkově nízkému tlaku na akcentování těch částí studovaného oboru, které se opírají o formálnější metody a analýzu dat. Důsledkem toho je, dle mého soudu, i nižší konkurenceschopnost ČR na poli společenskovědních disciplín.

Jsem přesvědčen, že při diskusích o směřování matematiky na SŠ je potřeba především:

• Zabývat se matematikou v celé své šíři – včetně těch disciplín, které vznikly a rozvíjely se v posledních desetiletích, zejména z oblasti diskrétní matematiky a algoritmů strojového učení a data miningu (data science) – a až z této šíře disciplín vybírat ty, které je možné rozumně vykládat na střední škole.
• Do debat o vhodných tématech zařadit nejen odborníky na didaktiku matematiky, ale široké spektrum uživatelů matematiky, kteří mohou přinést náměty témat, která jsou relevantní z jejich aplikačního pohledu (třeba geografové, kteří se zabývají regionálním rozvojem a modelují nejrůznější sítě, epidemiologové, kteří modelují šíření chorob, molekulární biologové, využívající další a další matematický aparát a jiné formalismy, dále třeba sociologové, kteří třeba využívají klastrové analýzy, politologové zkoumající volební systémy atp.)
• Promyslet možnost „rozrůznění“ výuky matematiky (i v rámci jedné školy) ve smyslu společného základu a následné povinné volby jednoho z konkrétně zaměřených modulů. Získat schopnost matematicky myslet na určité (středoškolské) úrovni lze na základě studia různých „skupin“ matematických disciplín. Klíčové je, aby dotyčný byl schopen se konkrétní „chybějící“ disciplínu na (středoškolské) úrovni doučit samostudiem. (Tím rozhodně nemám na mysli primitivní redukování obsahu se slovy „to si klidně nastuduje sám/sama“, míním tím především situaci, kdy dotyčný/dotyčná neabsolvuje výuku třeba tématu „komplexní čísla“, místo toho se třeba učí teorii grafů, základy práce s vektory a maticemi – se znalostí pojmu vektor a několika dalšími poznatky ovšem bude schopen kapitolu komplexní čísla samostatně nastudovat.).

Několik poznámek na závěr

• Nejprve k maturitě. Pokud bude povinná, bylo by přirozené, kdyby obsahovala větší sadu témat, z nichž by si maturující volil určité tematické celky, kterých by bylo samozřejmě méně než celkový počet témat (dříve tak byly koncipovány testy z matematiky v rámci Národních srovnávacích zkoušek). Osobně bych byl též pro, aby součástí maturity z matematiky byla „zápočtová část“ ve smyslu minimálního standardu, který musí zvládnout každý, kdo chce „mít maturitu“, měla by ověřovací charakter a „booleovský výsledek“.
• Jsem přesvědčený, že středoškoláci mohou zažít kousek matematiky stylem „definice-věta-důkaz“. Jen je zapotřebí, aby to zažili v rámci látky, která je jim blízká a vidí její smysl, jinak efekt bude veškerý žádný.
• Ano, možná bych středoškolákům zamlčel něco, co leckterý z didaktiků matematiky považuje za klíčové (třeba motivaci pro zavedení komplexních čísel) a že by studenti o dané poznání byli ochuzeni. Namísto toho by ale měli možnost poznat matematiku jako disciplínu, která pracuje s obecnými strukturami, které jsou využitelné skutečně leckde (o něco ochudíme, ale něco za to nabídneme. Pojďme přemýšlet, co má větší hodnotu.)
• Mluví-li se o nových směrech ve výuce matematiky, sklouzává se často k metodám (viz Hejný vs. tradiční přístup). Obsah/zaměření výuky je ale rovněž klíčové!
• Lenost je něco jiného než nechuť učit se něco, u čeho necítím smysl.
• Nedegradujme matematiku jen do podoby pouhého prostředku na procvičování logického myšlení, představme ji více jako užitečný nástroj a pokusme se naznačit, že je to především bádání o strukturách.
• Matematika bývá na střední škole spojována s fyzikou, maximálně s chemií. Tvrdíme-li, že matematika je v jistém smyslu univerzální nástroj s aplikacemi v nejrůznějších disciplínách – společenskovědné nevyjímaje – pojďme to ukázat: sociologie, filozofie, ale třeba geografie – všude může matematika probublat. Ovšem jejich středoškolská výuka vyvolává nyní dojem, že na jedné straně existují obory matematické a pak ty nematematické, což pravda není.
• Pokud někdo má pocit, že nabízím témata, která do matematiky nepatří (a místo ní patří do informatiky), tak to sice v jistém smyslu chápu, nicméně hranice mezi těmito disciplínami je velmi neostrá („fuzzy“). Představíme-li si výuku těchto témat a způsob uvažování, pak mají tato témata skutečně blíže k matematice než k výuce středoškolské informatiky. Ostatně nemálo úloh, které se řeší v matematice, by spíše patřila do fyziky (např. úlohy o pohybu – nad tím se ale celkem nikdo nepozastavuje).